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<title>Potentialströmung</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Potentialströmung</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die <a href="Str%C3%B6mungsmechanik" title="Strömungsmechanik">Strömung</a> eines <a href="Fluid" title="Fluid">Fluids</a> (Flüssigkeit oder Gas) ist eine Potentialströmung, wenn das <a href="Vektorfeld" title="Vektorfeld">Vektorfeld</a> der <a href="Geschwindigkeitsfeld" title="Geschwindigkeitsfeld"> Geschwindigkeiten</a> mathematisch so geartet ist, dass es ein <a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)"> Potential</a> besitzt. Das Potential kann man sich anschaulich als die Höhe in einer <a href="Reliefkarte" title="Reliefkarte">Reliefkarte</a> vorstellen, wo dann die Richtung der größten Steigung in einem Punkt der dortigen Geschwindigkeit entspricht. Ein solches Potential ist in einem <a href="Homogenit%C3%A4t_(Physik)" class="mw-redirect" title="Homogenität (Physik)">homogenen</a> Fluid vorhanden, wenn die Strömung <a href="Rotation_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Rotation (Mathematik)">rotationsfrei</a> (<a href="Wirbel_(Str%C3%B6mungslehre)" title="Wirbel (Strömungslehre)">wirbel-</a> bzw. <a href="Vortizit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Vortizität">vortizitätsfrei</a>) ist und keine <a href="Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">Zähigkeitskräfte</a> (<a href="Reibung" title="Reibung">Reibungskräfte</a>) auftreten oder diese vernachlässigbar klein sind. Jede aus der Ruhe heraus beginnende Strömung eines homogenen, viskositätsfreien Fluids besitzt ein solches Potential.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

Eine Potentialströmung ist der rotationsfreie Spezialfall der Strömung eines homogenen, viskositätsfreien Fluids, das durch die <a href="Eulersche_Gleichungen_(Str%C3%B6mungsmechanik)" class="mw-redirect" title="Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)"> Euler’schen Gleichungen</a> beschrieben wird; diese gelten auch für Strömungen mit Rotation (Wirbelströmung). Wenn jedoch bei <a href="Scherung_(Mechanik)" title="Scherung (Mechanik)"> Scherbewegungen</a> die Zähigkeit berücksichtigt werden muss, wie z. B. in <a href="Fluiddynamische_Grenzschicht" title="Fluiddynamische Grenzschicht"> Grenzschichten</a> oder im Zentrum eines Wirbels, so ist mit den <a href="Navier-Stokes-Gleichungen" title="Navier-Stokes-Gleichungen">Navier-Stokes-Gleichungen</a> zu rechnen.

Potentialströmungen können als sehr gute Näherung von <a href="Laminare_Str%C3%B6mung" title="Laminare Strömung"> laminaren Strömungen</a> bei niedrigen <a href="Reynolds-Zahl" title="Reynolds-Zahl">Reynolds-Zahlen</a> verwendet werden, wenn die fluiddynamische Grenzschicht an den Rändern der Strömung keine wesentliche Rolle spielt. In der stationären Potentialströmung inkompressibler Fluide gilt die <a href="Bernoullische_Druckgleichung" class="mw-redirect" title="Bernoullische Druckgleichung">bernoullische Druckgleichung</a> global, die technische Rohrströmungen gut beschreibt. Wegen ihrer einfachen Berechenbarkeit werden Potentialströmungen auch als Anfangsnäherung bei der iterativen Berechnung der <a href="Navier-Stokes-Gleichungen" title="Navier-Stokes-Gleichungen">Navier-Stokes-Gleichungen</a> in der <a href="Numerische_Str%C3%B6mungsmechanik" title="Numerische Strömungsmechanik"> numerischen Strömungsmechanik</a> verwendet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Eine Potentialströmung ist eine Strömung, die ein Geschwindigkeitsfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36ed41b85eb8fc84d8f198b82417bde0f4c5bc8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.188ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)}" loading="lazy"> besitzt, das vom Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"> und von der Zeit t abhängt und sich aus dem <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)"> Gradient</a> „grad“ eines <a href="Geschwindigkeitspotential" title="Geschwindigkeitspotential">Geschwindigkeitspotentials</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/851a11e816584a3c0310e375b436719a9806c900.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.398ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}" loading="lazy"> berechnet:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {grad} (\phi )\quad \Leftrightarrow \quad v_{i}={\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}\,,\;i=1,2,3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3773b843bcd3df8ea3280e82c9c314887e7452fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:41.089ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {grad} (\phi )\quad \Leftrightarrow \quad v_{i}={\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}\,,\;i=1,2,3}" loading="lazy"></dd></dl>

Deshalb werden solche Strömungen Potentialströmungen genannt. Die linke Vektorgleichung ist die koordinatenfreie Version, während die rechten Gleichungen in <a href="Kartesische_Koordinaten" class="mw-redirect" title="Kartesische Koordinaten"> kartesischen Koordinaten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1,2,3}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1,2,3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b67eda9b9b24758489f6004e13d51444f494e207.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.943ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x_{1,2,3}}" loading="lazy"> gelten.

Jedes Gradientenfeld ist <a href="Rotation_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Rotation (Mathematik)"> rotationsfrei</a>, weshalb Potentialströmungen immer rotationsfrei sind. Umgekehrt existiert nach dem <a href="Poincar%C3%A9-Lemma" title="Poincaré-Lemma">Poincaré-Lemma</a> immer dann ein Geschwindigkeitspotential, wenn die Strömung rotationsfrei ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungsbereiche_und_Limitierungen">Anwendungsbereiche und Limitierungen</h2></div>

Potentialströmungen enthalten nicht alle Charakteristika von realen Strömungen. Die inkompressible Potentialströmung macht eine Reihe von falschen Voraussagen, wie beispielsweise das <a href="D%E2%80%99Alembertsches_Paradoxon" title="D’Alembertsches Paradoxon"> d’Alembert’sche Paradoxon</a>, demgemäß von der Strömung auf einen Körper keine Kraft in Richtung der Strömung ausgeübt wird. Alle Phänomene, die eine <a href="Hydrodynamische_Grenzschicht" class="mw-redirect" title="Hydrodynamische Grenzschicht">hydrodynamische Grenzschicht</a> oder <a href="Turbulente_Str%C3%B6mung" title="Turbulente Strömung">turbulente Strömung</a> nebst Dissipation von Energie beinhalten, wie z. B. <a href="Str%C3%B6mungsabriss" title="Strömungsabriss">Strömungsabrisse</a>, können mit Potentialströmungen nicht abgebildet werden.

Nichtsdestotrotz ist das Verständnis von Potentialströmungen in vielen Bereichen der Strömungsmechanik hilfreich. So können für nicht zu komplizierte Geometrien analytische Lösungen ihrer Umströmung berechnet werden und auch die von der Strömung geleistete Auftriebskraft angegeben werden. So wird ein tieferes Verständnis der Strömung erreicht.

Potentialströmungen finden viele Anwendungen in der Auslegung von Flugzeugen. Wie eingangs erwähnt können Potentialströmungen als sehr gute Näherung von <a href="Laminare_Str%C3%B6mung" title="Laminare Strömung"> laminaren Strömungen</a> bei niedrigen <a href="Reynolds-Zahl" title="Reynolds-Zahl">Reynolds-Zahlen</a> verwendet werden, wenn die <a href="Hydrodynamische_Grenzschicht" class="mw-redirect" title="Hydrodynamische Grenzschicht">hydrodynamische Grenzschicht</a> an den Rändern der Strömung keine wesentliche Rolle spielt. Eine Technik in der <a href="Numerische_Str%C3%B6mungsmechanik" title="Numerische Strömungsmechanik"> numerischen Strömungsmechanik</a> koppelt eine viskose Grenzschichtströmung an eine Potentialströmung außerhalb der Grenzschicht. In einer Potentialströmung kann jede Stromlinie durch eine Wand ersetzt werden, ohne die Strömung dadurch zu verändern, eine Technik, die im Flugzeugdesign angewendet wird.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bestimmungsgleichungen_für_die_Strömung">Bestimmungsgleichungen für die Strömung</h2></div>

Nicht jedes Geschwindigkeitspotential repräsentiert eine physikalisch plausible Strömung. Damit das Geschwindigkeitspotential unter den getroffenen Annahmen im Einklang mit den physikalischen Gesetzen ist, muss es der <a href="Bilanzgleichung" title="Bilanzgleichung">Bilanzgleichung</a> für den Impuls in Form der Euler’schen Gleichungen gehorchen und die <a href="Kontinuumsmechanik#Massenbilanz" title="Kontinuumsmechanik"> Massenbilanz</a> erfüllen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bilanzgleichungen">Bilanzgleichungen</h3></div>

Die <a href="Kontinuumsmechanik#Impulsbilanz" title="Kontinuumsmechanik"> Impulsbilanz</a> in Form der Euler’schen Gleichungen lautet

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)={\vec {k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd8acdee547271eb53a626fdcfe62efffab4458c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:33.621ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)={\vec {k}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die <a href="Kontinuumsmechanik#Massenbilanz" title="Kontinuumsmechanik"> Massenbilanz</a>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\rho }}+\rho \operatorname {div} ({\vec {v}})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ec077c43881f4268429ef8310e833b6dcafc251.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.218ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\rho }}+\rho \operatorname {div} ({\vec {v}})=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist ρ die Dichte und der <a href="%C3%9Cberpunkt#Als_wissenschaftliches_Symbol" title="Überpunkt">aufgesetzte Punkt</a> die <a href="Substantielle_Ableitung" title="Substantielle Ableitung">substantielle Zeitableitung</a>, „div“ die <a href="Divergenz_eines_Vektorfeldes" title="Divergenz eines Vektorfeldes">Divergenz eines Vektorfeldes</a>, p der Druck und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {k}}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ccd4b98d198d6538010ae815ee1199baabd3493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {k}}}" loading="lazy"> ein Beschleunigungsfeld (z. B. Schwerebeschleunigung). Dieses System aus vier Gleichungen mit fünf Unbekannten (drei Geschwindigkeiten, Druck und Dichte) wird durch eine <a href="Zustandsgleichung" title="Zustandsgleichung">Zustandsgleichung</a> geschlossen, die die Dichte als Funktion des Drucks darstellt.

Einsetzen des Potentials in die Euler’schen Gleichungen liefert mit der Graßmann-Entwicklung<a href="#cite_note-2">[2]</a>:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)=&\\{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} ({\vec {v}})+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)=&\\\operatorname {grad} \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}\right)+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)=&{\vec {k}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d7466ecbf05926420afe9c30a441db6e01d617a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.505ex; width:48.933ex; height:18.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)=&\\{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} ({\vec {v}})+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)=&\\\operatorname {grad} \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}\right)+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)=&{\vec {k}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

weil die Rotation eines Gradientenfeldes verschwindet. Die Massenbilanz formt sich mit dem Geschwindigkeitspotential und dem <a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operator</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta =\operatorname {div\circ grad} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta =\operatorname {div\circ grad} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f97348ed0eafb4a3d4961b499e6b7ecb8aad73d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.925ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta =\operatorname {div\circ grad} }" loading="lazy"> um zu:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\rho }}+\rho \operatorname {div(grad} (\phi ))={\dot {\rho }}+\rho \Delta \phi =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/809751509dbcb07fa2f6e0eca271a938addd57b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.604ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\rho }}+\rho \operatorname {div(grad} (\phi ))={\dot {\rho }}+\rho \Delta \phi =0}" loading="lazy"></dd></dl>

Nun handelt es sich um ein System aus vier Gleichungen mit drei Unbekannten (Potential, Druck und Dichte), das nur lösbar ist, wenn die Differenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}:={\vec {k}}-{\tfrac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}:={\vec {k}}-{\tfrac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/644a1822a59e1d569ff65c6367de0ee6aeb91c3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:19.043ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}:={\vec {k}}-{\tfrac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)}" loading="lazy"> die <a href="Gradientenfeld#Integrabilitätsbedingung" title="Gradientenfeld"> Integrabilitätsbedingung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {f}})={\vec {0}}}">

<mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {f}})={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72a4393b0d39360c907454b9d8d89f350ce7b3b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.714ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {f}})={\vec {0}}}" loading="lazy"> erfüllt. Dies ist in barotropen Fluiden in einem konservativen Schwerefeld der Fall.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Barotropes_Fluid_in_konservativem_Schwerefeld">Barotropes Fluid in konservativem Schwerefeld</h3></div>

In einem <a href="Barotropie" title="Barotropie"> barotropen</a> Fluid ist die Dichte nur eine Funktion des Drucks. Dann kann die Integration der Euler-Gleichungen vorab erfolgen, was die Berechnung wesentlich vereinfacht. Barotrope Strömungen liegen dann vor, wenn das Temperaturfeld homogen ist oder wenn im technisch besonders wichtigen Fall die Strömung <a href="Homentrop" title="Homentrop">homentrop</a> ist.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

In einem barotropen Fluid gibt es eine Druckfunktion P mit der Eigenschaft

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P:=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm {d} P={\frac {\mathrm {d} p}{\rho }}\quad \Leftrightarrow \quad \operatorname {grad} P={\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b5be0f4b569115e847e1e88c55a8d6abe501ec8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:57.312ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle P:=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm {d} P={\frac {\mathrm {d} p}{\rho }}\quad \Leftrightarrow \quad \operatorname {grad} P={\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p}" loading="lazy"></dd></dl>

In einem inkompressiblen Fluid ist die Dichte konstant und P = p/ρ. Einsetzen der Druckfunktion in die Euler-Gleichung erlaubt es, den Gradientenoperator heraus zu ziehen:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}\right)+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)=\operatorname {grad} \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}+P\right)={\vec {k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e3307e4a286efc1678138c4729da966382515d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:75.755ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}\right)+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)=\operatorname {grad} \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}+P\right)={\vec {k}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Damit diese Gleichung erfüllt werden kann, muss das Beschleunigungsfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {k}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ccd4b98d198d6538010ae815ee1199baabd3493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {k}}}" loading="lazy"> der Integrabilitätsbedingung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {k}}={\vec {0}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {k}}={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67e6beaf381256694b0b92bfe6e532e64bbd55b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.838ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {k}}={\vec {0}}}" loading="lazy"> entsprechen. Dann gibt es nach dem <a href="Poincar%C3%A9-Lemma" title="Poincaré-Lemma">Poincaré-Lemma</a> ein Potential V mit der Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {k}}=-\operatorname {grad} V}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {k}}=-\operatorname {grad} V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/866cc53fba5c6740cdaf7bbe80c1f5d20e14951a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.208ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {k}}=-\operatorname {grad} V}" loading="lazy"> und die obige Gleichung führt auf ein Gradientenfeld

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}+P+V\right)={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b56b2697b01bcee794365eb05a8f982fcb34c9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.968ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}+P+V\right)={\vec {0}}}" loading="lazy"></dd></dl>

das überall verschwindet, weshalb der Term in den großen Klammern ortsunabhängig ist:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}+P+V=C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73cd3b739f5b8002dc9cf72cec2cca6678aefc1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:31.622ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}+P+V=C}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Integrationskonstante C könnte noch von der Zeit abhängen aber diese Zeitabhängigkeit kann dem Potential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> zugeschlagen werden, ohne dass sich dessen physikalische Bedeutung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {grad} (\phi )={\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} (\phi )={\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7e18b1c8d686201702959b69d6104cbe1d0d4f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.998ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} (\phi )={\vec {v}}}" loading="lazy"> ändern würde<a href="#cite_note-4">[4]</a>.

Nun handelt es sich um ein geschlossenes System aus drei Gleichungen (inklusive ρ=ρ(p) und der Massenbilanz) mit drei Unbekannten Potential, Dichte und Druck.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stationäre_Strömung">Stationäre Strömung</h3></div>

In einer stationären Potentialströmung ohne Beschleunigungsfeld gilt<a href="#cite_note-Anderson-5">[5]</a>:

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

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</msup>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1-M_{x}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+\left(1-M_{y}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+\left(1-M_{z}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\\&-2M_{x}M_{y}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\,\partial y}}-2M_{y}M_{z}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y\,\partial z}}-2M_{z}M_{x}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z\,\partial x}}=0\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f4e1138c13720b1580201d0d48b2f30b23d1faa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.838ex; width:55.717ex; height:12.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1-M_{x}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+\left(1-M_{y}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+\left(1-M_{z}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\\&-2M_{x}M_{y}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\,\partial y}}-2M_{y}M_{z}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y\,\partial z}}-2M_{z}M_{x}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z\,\partial x}}=0\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit den <a href="Machzahl" class="mw-redirect" title="Machzahl">Machzahlen</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{x}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},\qquad M_{y}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial y}},\qquad {\text{und}}\qquad M_{z}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85e46adba525d9c6d9a7c2e2ede6bf31241a086.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:56.424ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle M_{x}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},\qquad M_{y}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial y}},\qquad {\text{und}}\qquad M_{z}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}},}" loading="lazy"></dd></dl>

und der lokalen <a href="Schallgeschwindigkeit" title="Schallgeschwindigkeit">Schallgeschwindigkeit</a> c. Die Strömungsgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {grad} (\phi )}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {grad} (\phi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcaffec3cea4755b42bca647c924253588e73aee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.998ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {grad} (\phi )}" loading="lazy"> ergibt sich aus dem Gradient des Geschwindigkeitspotentials. Diese Gleichungen sind bei <a href="Schallgeschwindigkeit" title="Schallgeschwindigkeit"> sub-</a>, <a href="Transsonische_Str%C3%B6mung" title="Transsonische Strömung"> trans-</a> und <a href="%C3%9Cberschallgeschwindigkeit" title="Überschallgeschwindigkeit"> supersonischer</a> Strömung anwendbar, so lange ihre Rotationsfreiheit gegeben ist.<a href="#cite_note-Anderson-5">[5]</a>

<td>Beweis

</td></tr>

<tr>

<td>In einer stationären Strömung ohne Beschleunigungsfeld lautet die Eulergleichung und die Massenbilanz:

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

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</mtd>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}&=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\operatorname {grad} (\rho )\\\operatorname {div} (\rho {\vec {v}})&=\operatorname {grad} (\rho )\cdot {\vec {v}}+\rho \operatorname {div} ({\vec {v}})=0\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0262c3abf1369d26f39a59a083ef7d83e243262.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:41.69ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}&=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\operatorname {grad} (\rho )\\\operatorname {div} (\rho {\vec {v}})&=\operatorname {grad} (\rho )\cdot {\vec {v}}+\rho \operatorname {div} ({\vec {v}})=0\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Hier tritt die <a href="Schallgeschwindigkeit" title="Schallgeschwindigkeit">Schallgeschwindigkeit</a>

<msqrt>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c={\sqrt {\left.{\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right|_{S}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/459e28d42dfe2650586cb3b8a8e2f32629c2b8b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:11.724ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle c={\sqrt {\left.{\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right|_{S}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

auf, die die <a href="Wurzel_(Mathematik)" title="Wurzel (Mathematik)"> Wurzel</a> aus der Ableitung des Drucks nach der Dichte bei konstanter <a href="Entropie" title="Entropie">Entropie</a> S ist. Skalare Multiplikation der Euler-Gleichung mit der Geschwindigkeit und Einsetzen der Massenbilanz liefert:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

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<mover>

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</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\operatorname {grad} (\rho )\cdot {\vec {v}}={\frac {c^{2}}{\rho }}\rho \operatorname {div} ({\vec {v}})=c^{2}\operatorname {div} ({\vec {v}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5ee0789e760f4a04b73b03cfc490f1151d6f96c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:57.243ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\operatorname {grad} (\rho )\cdot {\vec {v}}={\frac {c^{2}}{\rho }}\rho \operatorname {div} ({\vec {v}})=c^{2}\operatorname {div} ({\vec {v}})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Division durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f3386a00382ce857fb0b3b04b9fa2bbe5cfae9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.061ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c^{2}}" loading="lazy"> ergibt mit dem Geschwindigkeitspotential und der <a href="Machzahl" class="mw-redirect" title="Machzahl">Machzahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}:={\vec {v}}/c=\operatorname {grad} (\phi )/c}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}:={\vec {v}}/c=\operatorname {grad} (\phi )/c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d35a910b4bdf7761493f034085de015e4ba639e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.524ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}:={\vec {v}}/c=\operatorname {grad} (\phi )/c}" loading="lazy">:

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

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<mfrac>

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</msup>

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

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<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {M}}\cdot \operatorname {grad(grad} (\phi ))\cdot {\vec {M}}=\operatorname {div(grad} (\phi ))=&\Delta \phi \\\Leftrightarrow \quad \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x_{i}^{2}}}-\sum _{i,j=1}^{3}M_{i}M_{j}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=&0\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac58ce7a7693cf0695f86f7f647c080928536606.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.005ex; width:44.629ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {M}}\cdot \operatorname {grad(grad} (\phi ))\cdot {\vec {M}}=\operatorname {div(grad} (\phi ))=&\Delta \phi \\\Leftrightarrow \quad \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x_{i}^{2}}}-\sum _{i,j=1}^{3}M_{i}M_{j}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=&0\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

</td></tr></tbody></table>

Im sub- oder supersonischen Bereich (aber nicht im transsonischen) kann bei kleinen Anströmwinkeln von schlanken Körpern eine weitere Annahme getroffen werden: Das Geschwindigkeitspotential wird in eine Parallelströmung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{\infty }x}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{\infty }x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33bbfd9cd88158f8aaa41c460472139cc8243bdd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.333ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{\infty }x}" loading="lazy"> und ein kleines Störungsfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> aufgeteilt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi =v_{\infty }x+\varphi }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi =v_{\infty }x+\varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15b52c1e9e0683a11f70c181a715214dea1b2fd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.177ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \phi =v_{\infty }x+\varphi }" loading="lazy">. In diesem Fall kann die linearisierte Potentialgleichung – eine Näherung der kompletten Gleichung – benutzt werden<a href="#cite_note-Anderson-5">[5]</a>:

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-M_{x}^{2}){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90ebf9fc9658a8c0e76bb24e40fb0720c5076289.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.568ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle (1-M_{x}^{2}){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schallwellen">Schallwellen</h3></div>

Schallwellen mit geringer Amplitude können mit dem folgenden Potentialströmungsmodell approximiert werden<a href="#cite_note-6">[6]</a>:

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</mfrac>

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<msup>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}={\bar {c}}^{2}\Delta \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b71e2fbd1037f676eaca6e5c5a62884161e24bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.385ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}={\bar {c}}^{2}\Delta \phi }" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {c}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94e1e99531b83728c7362b99dda09cc8b366168e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.292ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\bar {c}}}" loading="lazy"> die mittlere <a href="Schallgeschwindigkeit" title="Schallgeschwindigkeit">Schallgeschwindigkeit</a> im homogenen Fluid. Diese Gleichung ist eine <a href="Wellengleichung" title="Wellengleichung">Wellengleichung</a>, die für das Geschwindigkeitspotential Φ und gleichfalls für den Druck sowie die Dichte gilt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Randbedingungen">Randbedingungen</h3></div>

Die <a href="Dirichlet-Randbedingung" title="Dirichlet-Randbedingung">Dirichlet-Randbedingungen</a> geben den Wert des Geschwindigkeitspotentials auf einer Fläche vor, woraus sich die Tangentialgeschwindigkeit des Fluids auf der Fläche ergibt. Mit <a href="Neumann-Randbedingung" title="Neumann-Randbedingung">Neumann-Randbedingungen</a> werden die Ableitungen des Potentials senkrecht zu Flächen festgelegt, was hier der Vorgabe von Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Fläche entspricht. Ansonsten gilt das bei den <a href="Eulersche_Gleichungen_(Str%C3%B6mungsmechanik)#Randbedingungen" class="mw-redirect" title="Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)"> Euler’schen Gleichungen zu den Randbedingungen</a> gesagte.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zirkulation">Zirkulation</h2></div>

In einem stationären Strömungsgebiet, in dem die <a href="Bernoulli-Gleichung" title="Bernoulli-Gleichung">Bernoulli-Gleichung</a> auf allen Stromlinien denselben Wert hat, ist die Zirkulation im inneren des Gebiets gleich Null und die Strömung eine Potentialströmung. Trotzdem können bei einer aus der Ruhe heraus entstehenden Bewegung einer homogenen reibungslosen Flüssigkeit Wirbel entstehen. Denn alle im Ruhezustand im Innern der Flüssigkeit gezogenen (materiellen) Linien weichen bei einsetzender Strömung einer sich bildenden Trennfläche aus und schneiden diese niemals. Der <a href="Kelvinscher_Wirbelsatz" title="Kelvinscher Wirbelsatz">Kelvin’sche Wirbelsatz</a> bezieht sich auf materielle Linien und sagt demnach über die Beziehungen der Gebiete auf beiden Seiten der Trennfläche nichts aus. Deshalb können aus der Ruhe heraus an Kanten Trennflächen und Wirbel ohne Widerspruch zum Wirbelstatz entstehen.<a href="#cite_note-7">[7]</a>

Da auch der <a href="#Potentialwirbel">#Potentialwirbel</a> eine Potentialströmung ist, eine von null verschiedene Zirkulation aufweist und inkompressible Potentialströmungen <a href="Superposition_(Physik)" title="Superposition (Physik)">superponierbar</a> sind, kann mit einem Potentialwirbel in oder außerhalb des Strömungsgebietes eine Zirkulation eingebracht werden. Allgemeiner kann ein divergenzfreier Geschwindigkeitsanteil superponiert werden, der sich aus der <a href="Rotation_eines_Vektorfeldes" title="Rotation eines Vektorfeldes">Rotation eines Vektorfeldes</a> ergibt, dessen Berechnung die Kenntnis der Rotationsverteilung erfordert und die Lösung zusätzlich erschwert.<a href="#cite_note-8">[8]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Potentialströmung_eines_inkompressiblen_Fluids">Potentialströmung eines inkompressiblen Fluids</h2></div>

Die Annahme der Inkompressibilität ist für Flüssigkeiten bei moderaten Drücken und für Gasströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit eine häufig sinnvolle Näherung. In diesem Fall entkoppeln sich die Bestimmungsgleichungen für die Geschwindigkeit und den Druck: Aus der Laplace-Gleichung bestimmt sich mit den Randbedingungen das Potential und aus den Euler-Gleichungen, die sich auf die Bernoulli’sche Druckgleichung reduzieren, der Druck.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bestimmungsgleichungen">Bestimmungsgleichungen</h3></div>

Bei Inkompressibilität ist das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=\operatorname {div(grad} (\phi ))=\Delta \phi =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e7e3f4502e0c5eea0516832b0d7a9cec824726d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.208ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=\operatorname {div(grad} (\phi ))=\Delta \phi =0}" loading="lazy"></dd></dl>

weswegen das Potential die <a href="Laplace-Gleichung" title="Laplace-Gleichung">Laplace-Gleichung</a> erfüllt. Auf Grund der Massenbilanz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\rho }}+\rho \Delta \phi ={\dot {\rho }}=0}">

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</mover>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\rho }}+\rho \Delta \phi ={\dot {\rho }}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76de260f5e42007c3df93f58556726c92a6ff6e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.474ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\rho }}+\rho \Delta \phi ={\dot {\rho }}=0}" loading="lazy"> ist die Dichte zumindest zeitlich konstant; bei Inkompressibilität ist sie auch räumlich konstant. Bei konstanter Dichte vereinfacht sich die bei den <a href="#Barotropes_Fluid_in_konservativem_Schwerefeld">barotropen Fluiden</a> eingeführte Druckfunktion P zu P=p/ρ. Multiplikation der Euler-Gleichungen mit der Dichte liefert dann:

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\rho }{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}+p+\rho V=E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63c893a42f3f72b48ef59e1881e99ee6dca18846.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:33.499ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \rho {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\rho }{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}+p+\rho V=E}" loading="lazy"></dd></dl>

In einer stationären Strömung entfällt der erste Term und es verbleibt die <a href="Bernoullische_Druckgleichung" class="mw-redirect" title="Bernoullische Druckgleichung"> Bernoulli’sche Druckgleichung</a>, die hier im gesamten Strömungsgebiet gilt. Die Konstante Energie E ist die Summe aus kinetischer, innerer (Druck p) und äußerer Energie (Schwerefeld ρV) eines Fluidpartikels und diese Gesamtenergie ist für alle Partikel in der stationären Strömung gleich.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Analogon_der_Wärmeleitung">Analogon der Wärmeleitung</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="W%C3%A4rmeleitung" title="Wärmeleitung">Wärmeleitung</a></div>

Eine Potentialströmung kann mit <a href="Finite-Elemente-Methode" title="Finite-Elemente-Methode"> Finite-Elemente</a>-Programmen berechnet werden, in denen die <a href="W%C3%A4rmeleitungsgleichung" title="Wärmeleitungsgleichung">Wärmeleitungsgleichung</a> implementiert ist, was in vielen gängigen Programmen der Fall ist. Die stationäre Wärmeleitung in einem homogenen Festkörper ohne innere Wärmequellen gehorcht der <a href="Laplace-Gleichung" title="Laplace-Gleichung">Laplace-Gleichung</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta T=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e38c84a6911e0a58dc08b85d0d9832d6fc23382b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.833ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta T=0}" loading="lazy"></dd></dl>

weshalb die Temperatur T dort derselben Bestimmungsgleichung unterliegt wie das Geschwindigkeitspotential Φ in einem inkompressiblen Fluid. Wird die Temperatur in einem Festkörper als Geschwindigkeitspotential aufgefasst, dann entspricht der Temperaturgradient, zu dem der Wärmestrom proportional ist, der Strömungsgeschwindigkeit. Die <a href="Dirichlet-Randbedingung" title="Dirichlet-Randbedingung">Dirichlet-Randbedingungen</a> legen die Temperaturen auf Oberflächen fest, wodurch sich der Temperaturgradient und mithin die tangentiale Strömungsgeschwindigkeit in der Fläche vorgeben lässt. <a href="Neumann-Randbedingung" title="Neumann-Randbedingung">Neumann-Randbedingungen</a> bestimmen die Wärmestromdichte, die in der Potentialströmung die Normalgeschwindigkeit zur Wand einstellt.

Das obere Bild zeigt einen Ausschnitt der Temperaturverteilung aus einer Wärmeleitungsrechnung mit der <a href="Finite-Elemente-Methode" title="Finite-Elemente-Methode">Finite-Elemente-Methode</a> in einer quadratischen Scheibe mit einem mittig ausgesparten Profil, das im Beispiel unten behandelt wird. Die Temperatur ist farbkodiert von rot nach blau (rot hoch, blau gering) gezeichnet und die von oben nach unten verlaufenden schwarzen Linien sind ihre Höhenlinien. Die von links nach rechts orientierten kurzen, schwarzen Striche stellen Wärmeströme dar. Um Randeffekte gering zu halten, ist die Scheibe zehnmal so groß wie das Profil, denn die im Beispiel unten, analytisch berechneten, weiß gezeichneten Stromlinien gelten für eine Strömung in der gesamten, wandfreien Ebene. An den Grenzen der Scheibe (außerhalb des Bildes) oben und unten sowie am Profil wurden keine Randbedingungen definiert. Am linken Rand wurde die Wärmestromdichte von eins vorgegeben und am rechten Rand die Wärmestromdichte von minus eins sowie mittig die Temperatur null festgelegt. Mit einer konstanten Temperatur an der rechten Begrenzung wäre ein senkrechter Ausfluss bestimmt worden. Die Höhenlinien der Temperatur entsprechen den Höhenlinien des Geschwindigkeitspotentials und sind im Einklang mit der Theorie augenscheinlich senkrecht zu den weißen Stromlinien und die Wärmeströme sind mit den Stromlinien verträglich.

Das untere Bild zeigt das Betragsquadrat des Wärmestromes (rot groß, blau klein), von dem nach der Bernoulli-Gleichung ohne Schwerebeschleunigung

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=E-{\frac {\rho }{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28861b12670cbc6a131767ce26b373ec93aee480.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-left: -0.089ex; width:20.177ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle p=E-{\frac {\rho }{2}}\operatorname {grad} (\phi )^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

der Druck eine lineare Funktion ist. Wegen des negativen Vorzeichens herrscht also in den blauen Bereichen ein hoher Druck und in den roten ein niedriger.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ebene_Potentialströmung">Ebene Potentialströmung</h3></div>

Wenn die Strömung in der Ebene stattfindet, dann können die Eigenschaften komplexer Funktionen ausgenutzt werden. Es wird ein komplexes Geschwindigkeitspotential definiert, dessen Realteil das reelle Geschwindigkeitspotential und dessen Imaginärteil die <a href="Stromfunktion" title="Stromfunktion">Stromfunktion</a> ist. Beide Funktionen beschreiben dieselbe Strömung. Deshalb gelten die aus der Stromfunktion abgeleiteten Aussagen: Die Höhenlinien der Stromfunktion sind <a href="Stromlinie" title="Stromlinie">Stromlinien</a>, zwischen denen der Volumenstrom überall gleich ist. Komplexe Geschwindigkeitspotentiale können aus einfacheren zusammengesetzt und transformiert werden, so dass mit einfachen Mitteln komplizierte Strömungen untersucht werden können. Insbesondere kann auch die von der Strömung auf den Körper ausgeübte Kraft exakt berechnet werden.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Komplexes_Geschwindigkeitspotential">Komplexes Geschwindigkeitspotential</h4></div>

Die Ebene wird als komplexe Zahlenebene aufgefasst, in der der Wert des Potentials als Realteil einer <a href="Holomorphe_Funktion" title="Holomorphe Funktion"> holomorphen Funktion</a> f dargestellt wird:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=\phi (x,y)+\mathrm {i} \,\psi (x,y)\quad {\text{mit}}\quad z=x+\mathrm {i} \,y\in \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba31da8a687bf4576d3db8bcc2f9e838b14a8974.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.902ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(z)=\phi (x,y)+\mathrm {i} \,\psi (x,y)\quad {\text{mit}}\quad z=x+\mathrm {i} \,y\in \mathbb {C} }" loading="lazy"></dd></dl>

Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"> enthält alle komplexen Zahlen und i ist die <a href="Imagin%C3%A4re_Einheit" class="mw-redirect" title="Imaginäre Einheit">imaginäre Einheit</a>. Die Funktion f ist das komplexe Geschwindigkeitspotential, aus dem sich die Geschwindigkeit über die Ableitungen

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{x}={\frac {\partial \phi }{\partial x}}\;,\quad v_{y}={\frac {\partial \phi }{\partial y}}\quad {\text{oder}}\quad w:=v_{x}-\mathrm {i} \,v_{y}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ef043971dc8a334832b1bfa2c8b15a9573391bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:51.066ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle v_{x}={\frac {\partial \phi }{\partial x}}\;,\quad v_{y}={\frac {\partial \phi }{\partial y}}\quad {\text{oder}}\quad w:=v_{x}-\mathrm {i} \,v_{y}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt. Hier ist w die komplexe Geschwindigkeit. Der Imaginärteil des Potentials ist die <a href="Stromfunktion" title="Stromfunktion">Stromfunktion</a>, deren Höhenlinien <a href="Stromlinie" title="Stromlinie">Stromlinien</a> sind. Weil die Funktion f holomorph ist, gelten die <a href="Cauchy-Riemannsche_Differentialgleichungen" class="mw-redirect" title="Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen"> Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen</a>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\quad {\text{und}}\quad {\frac {\partial \phi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51bef424800bf3c3f390bc699d70d93194c1bb39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.942ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\quad {\text{und}}\quad {\frac {\partial \phi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}" loading="lazy"></dd></dl>

weswegen die Gradienten des reellen Geschwindigkeitspotentials und der Stromfunktion zueinander senkrecht sind:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} (\phi )\cdot \operatorname {grad} (\psi )=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb26013d0c587ec4decd8b9837520b6cf2cb446a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.515ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} (\phi )\cdot \operatorname {grad} (\psi )=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Gradienten sind wiederum orthogonal zu den Höhenlinien, so dass auch diese sich im rechten Winkel schneiden. Weitere Differentiation offenbart

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}&={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y\partial x}}=-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}\quad \Rightarrow \quad \Delta \phi =0\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}&={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial y}}=-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\quad \Rightarrow \quad \Delta \psi =0\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80fb9f89de9f423d8d31f89c9261bb05065f1613.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:40.177ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}&={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y\partial x}}=-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}\quad \Rightarrow \quad \Delta \phi =0\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}&={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial y}}=-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\quad \Rightarrow \quad \Delta \psi =0\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

weswegen sowohl der real- als auch der imaginäre Teil des komplexen Geschwindigkeitspotentials die Laplace-Gleichung in der Ebene erfüllt. Die obere Gleichung legt die <a href="Divergenz_eines_Vektorfeldes" title="Divergenz eines Vektorfeldes">Divergenzfreiheit</a> und die untere die <a href="Rotation_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Rotation (Mathematik)"> Rotationsfreiheit</a> der Strömung fest.

Aus den Randbedingungen berechnet sich das Potential, aus dem sich über die Ableitungen das Geschwindigkeitsfeld berechnet, und der Druck wird aus der Bernoulli’schen-Druckgleichung ermittelt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Näherungsweise_rechnerische_Lösung">Näherungsweise rechnerische Lösung</h4></div>

Der Laplace-Operator hat in der Ebene in einem regelmäßigen Netz mit Maschenweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \triangle x=\triangle y=h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \triangle x=\triangle y=h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4566dedf84a8bcca0df71705bfe2948d6c976bf9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.153ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \triangle x=\triangle y=h}" loading="lazy"> den <a href="Differenzenquotient#Gewöhnliche_Differenzenquotienten_höherer_Ableitungs-_und_Fehlerordnung" title="Differenzenquotient">Differenzenquotient</a>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi =&{\frac {\triangle ^{2}\psi }{\triangle x^{2}}}+{\frac {\triangle ^{2}\psi }{\triangle y^{2}}}\\=&{\frac {\psi (x+h,y)+\psi (x-h,y)-2\psi (x,y)}{h^{2}}}\\&+{\frac {\psi (x,y+h)+\psi (x,y-h)-2\psi (x,y)}{h^{2}}}{\stackrel {\displaystyle !}{=}}0\\\rightarrow \psi (x,y)=&{\frac {\psi (x+h,y)+\psi (x-h,y)+\psi (x,y+h)+\psi (x,y-h)}{4}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/370c4e5d0c2df3b6be3af0d4ad3215c885b41d2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -11.671ex; width:66.456ex; height:24.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi =&{\frac {\triangle ^{2}\psi }{\triangle x^{2}}}+{\frac {\triangle ^{2}\psi }{\triangle y^{2}}}\\=&{\frac {\psi (x+h,y)+\psi (x-h,y)-2\psi (x,y)}{h^{2}}}\\&+{\frac {\psi (x,y+h)+\psi (x,y-h)-2\psi (x,y)}{h^{2}}}{\stackrel {\displaystyle !}{=}}0\\\rightarrow \psi (x,y)=&{\frac {\psi (x+h,y)+\psi (x-h,y)+\psi (x,y+h)+\psi (x,y-h)}{4}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Differenzen wurden mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \triangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \triangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d909fe94e8277a4c44a50853cb7dbbf0fa3148ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \triangle }" loading="lazy"> geschrieben um eine Verwechselung mit dem Laplace-Operator zu vermeiden. Die Formel gestattet eine einfache Lösung der Laplace-Gleichung<a href="#cite_note-malcherek-9">[9]</a>: In das Strömungsgebiet wird ein Netz mit quadratischen Maschen mit Kantenlänge h gelegt. Der Wert der Stromfunktion am Knoten mit Koordinaten (x, y) ist dann der Mittelwert der in x- und y-Richtung benachbarten Knotenwerte. Bei einem durchflossenen Kanal wird auf einem Rand die Stromfunktion zu null gesetzt und auf dem gegenüberliegenden Rand derjenige Wert festgelegt, der dem verlangten Volumenstrom entspricht. Für die Knotenwerte im Strömungsgebiet werden zunächst geschätzte Werte eingesetzt und dann iterativ mittels obiger Gleichung angepasst, bis eine zufriedenstellende Genauigkeit erreicht ist.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Zeichnerische_Ermittlung_von_Potentialströmungen">Zeichnerische Ermittlung von Potentialströmungen</h4></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Str%C3%B6mungsnetz" title="Strömungsnetz">Strömungsnetz</a></div>

Potentialströmungen können auch von Hand skizziert werden, was in der <a href="Geotechnik" title="Geotechnik">Geotechnik</a> und <a href="Hydromechanik" title="Hydromechanik">Hydromechanik</a> angewendet wird<a href="#cite_note-malcherek-9">[9]</a>. Die oben aufgeführten Eigenschaften von ebenen Potentialströmungen geben dazu Anhaltspunkte:

<ul><li>Undurchlässige Ränder oder freie Oberflächen sind Stromlinien,</li>

<li>Stromlinien dürfen sich nicht schneiden,</li>

<li>Potentiallinien dürfen sich nicht schneiden,</li>

<li>Potentiallinien und Stromlinien schneiden sich rechtwinklig und</li>

<li>das Netz aus Potential- und Stromlinien kann so gestaltet werden, dass es aus annähernd quadratischen Maschen besteht.</li></ul>

Zu Anfang werden die Ränder des Strömungsgebiets gezeichnet (Schritt 1 im Bild) und die Richtung der Strömung am Ein- und Auslass festgelegt (2). Dann werden (3) zwischen den Rändern des Strömungsgebiets einige wenige parallele Stromlinien mit gleichen Abständen gelegt unter Beachtung der Tatsache, dass die Ränder ebenfalls Stromlinien sind. Die Potentiallinien werden so eingezeichnet (4), dass sie diese Stromlinien im rechten Winkel kreuzen und quadratische Maschen entstehen. Durch Eintragung weiterer Strom- und Potentiallinien (5,6) wird das Netz bis zum gewünschten Maß verdichtet.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Konstruktion_von_Geschwindigkeitspotentialen">Konstruktion von Geschwindigkeitspotentialen</h4></div>

Weil die Laplace-Gleichung linear ist, ist die Strömung, die sich aus der Summe zweier Geschwindigkeitspotentiale ergibt, wieder eine Potentialströmung. So lassen sich komplexe Strömungen durch Superposition aus einfachen Strömungen zusammensetzen, von denen einige – siehe die unten stehenden Bilder – angegeben seien:

<ol><li>Eine Parallelströmung mit konstanter komplexer Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w=v_{x}-\mathrm {i} \,v_{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=v_{x}-\mathrm {i} \,v_{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f91e027a8a6f422fd4d46e92067beb1139803c51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.114ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w=v_{x}-\mathrm {i} \,v_{y}}" loading="lazy"> ergibt sich aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=wz}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=wz}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27c438e0818cc2dffe39b5067e362a3f33e174d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.027ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(z)=wz}" loading="lazy">.</li>

<li>Eine Staupunktströmung mit Staupunkt im Ursprung ergibt sich mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=z^{n}\,,\;n=2,3,4,\dots }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=z^{n}\,,\;n=2,3,4,\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/127627b137c66a38e5c39b49f6ebf40f58fde4c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.455ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(z)=z^{n}\,,\;n=2,3,4,\dots }" loading="lazy"></li>

<li>Eine Multipolströmung im Ursprung hat das Potential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=z^{-n}\,,\;n=1,2,3,4,\dots }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=z^{-n}\,,\;n=1,2,3,4,\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4da6ad8ffe6e42c1650ac921dd518918d0dbda1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.93ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(z)=z^{-n}\,,\;n=1,2,3,4,\dots }" loading="lazy"></li>

<li>Quellen haben ein Potential der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)={\frac {Q}{2\pi }}\ln(z-z_{0})}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)={\frac {Q}{2\pi }}\ln(z-z_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eadd20f47a587d889ee6aa45931ede6bcbc72bcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.805ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle f(z)={\frac {Q}{2\pi }}\ln(z-z_{0})}" loading="lazy">. Der Ort der Quelle ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e72d1d86e86355892b39b8eb32b964834e113bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{0}}" loading="lazy">, ihre Stärke ist Q und ln ist der <a href="Nat%C3%BCrlicher_Logarithmus" class="mw-redirect" title="Natürlicher Logarithmus"> Natürliche Logarithmus</a>. An der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=z_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=z_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f8e63a3f2769739a78c3c24a091f778fdc72dfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.322ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z=z_{0}}" loading="lazy"> befindet sich eine Singularität, in der die Laplace-Gleichung verletzt wird. Senken sind Quellen mit negativer Stärke.</li>

<li>Der Potentialwirbel – siehe unten – ergibt sich durch Vertauschung der Real- und Imaginärteile bei einer Quellströmung, was durch Multiplikation des Potentials mit -i geschieht: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=-\mathrm {i} \,{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln(z-z_{0})}">

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=-\mathrm {i} \,{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln(z-z_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1df39d721b1de71aaeb693db702d07659afeda98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.647ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle f(z)=-\mathrm {i} \,{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln(z-z_{0})}" loading="lazy">.</li>

<li>Strudel ergeben sich aus der Überlagerung von Quellen/Senken und Potentialwirbel: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)={\frac {Q-\mathrm {i} \,\Gamma }{2\pi }}\ln(z-z_{0})}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)={\frac {Q-\mathrm {i} \,\Gamma }{2\pi }}\ln(z-z_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b92a1aae4f64203dbb8304cbef39174b59febf5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.476ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle f(z)={\frac {Q-\mathrm {i} \,\Gamma }{2\pi }}\ln(z-z_{0})}" loading="lazy">.</li></ol>

<div class="gallerytext"> Parallelströmung</div>

</li>

<div class="gallerytext"> Staupunktströmung</div>

</li>

<div class="gallerytext"> Multipolströmung</div>

</li>

<div class="gallerytext"> Quelle/Senke</div>

</li>

<div class="gallerytext"> Wirbel</div>

</li>

<div class="gallerytext"> Strudel</div>

</li>

</ul>

In den obigen Bildern sind die Höhenlinien des reellen Potentials rot und die der Stromfunktion blau gezeichnet. Der Abstand der roten Linien gibt einen Eindruck von der Strömungsgeschwindigkeit, wobei in Bereichen mit geringen Abständen die Geschwindigkeit hoch ist. Die blauen Linien sind Stromlinien. Die Funktionen, deren Höhenlinien bei den Quellen/Senken, Wirbeln oder Strudeln radial verlaufen, machen irgendwo einen Sprung, was eine Folge der Nicht-Differenzierbarkeit der Logarithmusfunktion ist.

Mit der Methode der <a href="Bildladung" class="mw-redirect" title="Bildladung">Bildladungen</a> kann durch geschicktes Einbringen von gedachten Quellen und Senken außerhalb des durchströmten Gebiets die Strömung so umgelenkt werden, dass sie vorgegebene Randbedingungen erfüllt.

Mit <a href="Konforme_Abbildung" title="Konforme Abbildung"> konformen Abbildungen</a> können Strömungsfelder um einfache Grundkörper auf komplizierte Geometrien übertragen werden. Die Übertragung geschieht mit einer zweiten, komplexen Funktion w gemäß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi (z)=w(f(z))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi (z)=w(f(z))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f5986c4e70c0ba09e2b22bbdb8e0a0dfb5fcb30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi (z)=w(f(z))}" loading="lazy">, die nach dem <a href="Riemannscher_Abbildungssatz" title="Riemannscher Abbildungssatz"> Riemannschen Abbildungssatz</a> konform ist. Die <a href="Kutta-Schukowski-Transformation" title="Kutta-Schukowski-Transformation">Kutta-Schukowski-Transformation</a> überträgt die Umströmung eines Kreiszylinders auf ein Flügelprofil, siehe das Beispiel unten. Mit der <a href="Schwarz-Christoffel-Transformation" title="Schwarz-Christoffel-Transformation">Schwarz-Christoffel-Transformation</a> kann die Parallelströmung in der oberen Halbebene auf beliebige, mit geraden Linien berandete, einfach zusammenhängende Gebiete (und auch das innere von <a href="Polygon" title="Polygon">Polygonen</a>) übertragen werden.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Kraftwirkungen_auf_umströmte_Körper">Kraftwirkungen auf umströmte Körper</h4></div>

Das <a href="D%E2%80%99Alembertsches_Paradoxon" title="D’Alembertsches Paradoxon"> d’Alembert’sche Paradoxon</a> besagt, dass auf einen beliebig geformten Körper keine Kraft in Richtung der Strömung wirkt. In einem komplex differenzierbaren Geschwindigkeitsfeld übt die Strömung auch keine Kraft senkrecht zur Strömungsrichtung auf von ihr umströmte Körper aus, was eine Folgerung aus dem <a href="Integralsatz_von_Cauchy" class="mw-redirect" title="Integralsatz von Cauchy">Integralsatz von Cauchy</a> ist. Wenn das Geschwindigkeitspotential irgendwo innerhalb der Kontur eines Körpers nicht komplex differenzierbar ist, dann kann die Zirkulation der Geschwindigkeit längs der Kontur ungleich null sein und der Körper erfährt nach dem <a href="Satz_von_Kutta-Joukowski" title="Satz von Kutta-Joukowski">Satz von Kutta-Joukowski</a> eine zu dieser Zirkulation proportionale Auftriebskraft. Mit der 1902 entdeckten Formel konnten erste auftriebserzeugende Flügelprofile entwickelt werden.

Eine bei der Berechnung der Kraftwirkung auf umströmte Körper wichtige Größe ist die <a href="Zirkulation_(Feldtheorie)" title="Zirkulation (Feldtheorie)"> Zirkulation</a> Γ der Geschwindigkeit längs eines Weges W, die mit einem <a href="Kurvenintegral" title="Kurvenintegral">Kurvenintegral</a> berechnet wird:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma :=\oint _{W}(v_{x}\mathrm {d} x+v_{y}\,\mathrm {d} y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f786e85d8da46aad1753561d794c4c6c27b35462.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.029ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \Gamma :=\oint _{W}(v_{x}\mathrm {d} x+v_{y}\,\mathrm {d} y)}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn die Kurve eine umströmte Kontur ist, dann kann die Zirkulation mit der komplexen Geschwindigkeit berechnet werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma =\oint _{W}w(z)\,\mathrm {d} z\quad (\in \mathbb {R} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f35deeb526763fb5d883e018947e476551167e5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.52ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \Gamma =\oint _{W}w(z)\,\mathrm {d} z\quad (\in \mathbb {R} )}" loading="lazy"></dd></dl>

Der <a href="Integralsatz_von_Cauchy" class="mw-redirect" title="Integralsatz von Cauchy">Integralsatz von Cauchy</a> besagt, dass das Kurvenintegral einer komplexen Funktion zwischen zwei Punkten wegunabhängig ist, wenn die Funktion holomorph also komplex differenzierbar ist. Das Kurvenintegral verschwindet demnach entlang einer geschlossenen Kontur, wenn die Funktion in dem von der Kontur umschlossenen Gebiet holomorph ist. Die Zirkulation kann nur dann von null verschieden sein, wenn das Geschwindigkeitsfeld irgendwo innerhalb der Kontur nicht komplex differenzierbar ist<a href="#cite_note-10">[10]</a>.

Die komplexe Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=F_{x}-\mathrm {i} F_{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=F_{x}-\mathrm {i} F_{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39eeec079b6eeef5a7f4d445ea03016d3af047a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.537ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F=F_{x}-\mathrm {i} F_{y}}" loading="lazy"> (wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/170e2b3a1ee797adf59f0a732b32eb0028e8437c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.544ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{y}}" loading="lazy"> in positiver y-Richtung wirkt), die auf einen von einer ebenen Potentialströmung umströmten Körper wirkt, dessen konstanter Querschnitt die ebene Kontur W ist und dessen Ausdehnung senkrecht zum Querschnitt gleich L ist, berechnet sich mit der ersten <a href="Blasiussche_Formeln" title="Blasiussche Formeln"> Blasius’schen Formel</a>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=\mathrm {i} L{\frac {\rho }{2}}\oint _{W}w^{2}(z)\,\mathrm {d} z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1809bfe6b91da26484ad4d343f1be485632ff50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.512ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle F=\mathrm {i} L{\frac {\rho }{2}}\oint _{W}w^{2}(z)\,\mathrm {d} z}" loading="lazy"></dd></dl>

mit dem Kurvenintegral des Geschwindigkeitsquadrats entlang der Kontur. Der <a href="Satz_von_Kutta-Joukowski" title="Satz von Kutta-Joukowski">Satz von Kutta-Joukowski</a> besagt, dass die Kraft, die auf den umströmten Körper wirkt, proportional zu seiner Zirkulation ist:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=\mathrm {i} L\rho \Gamma w_{\infty }=L\rho \Gamma e^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}}w_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b37c33120b9e8aba5c103e8300371b572a786fd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.513ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle F=\mathrm {i} L\rho \Gamma w_{\infty }=L\rho \Gamma e^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}}w_{\infty }}" loading="lazy"></dd></dl>

Weil die Kraft immer senkrecht zur Strömungsgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{\infty }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d83246ceaf8882a877cd5fade9fc014b119eefff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.54ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle w_{\infty }}" loading="lazy"> im Unendlichen ist, wird die Kraft auch Auftriebskraft genannt. In wirbelfreien Strömungen verschwindet die Zirkulation, so dass eine wirbelfreie Potentialströmung keine Kraft auf von ihr umströmte Körper ausübt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Potentialwirbel">Potentialwirbel</h4></div>

Der <a href="Wirbel_(Str%C3%B6mungslehre)#Potentialwirbel" title="Wirbel (Strömungslehre)"> Potentialwirbel</a> oder „freie Wirbel“ ist eine echte (rotationsfreie) Potentialströmung, die dennoch kreist, d. h. in einem <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)"> topologisch</a> <a href="Zusammenh%C3%A4ngender_Raum" title="Zusammenhängender Raum"> zweifach zusammenhängenden Gebiet</a> (wie beispielsweise dem Luftraum in einem Saal mit Mittelsäule) eine <a href="Zirkulation_(Feldtheorie)" title="Zirkulation (Feldtheorie)"> Zirkulation</a> aufweist. Ein besonderer Potentialwirbel ist an einer freien Wasseroberfläche zu beobachten, wenn der Druck im Zentrum so gering wird, dass sich die Oberfläche merklich einsenkt und einen Wirbeltrichter (<a href="Strudel_(Physik)" title="Strudel (Physik)"> Strudel</a>) bildet. Reicht der Trichter unbegrenzt weit in die Tiefe, so herrscht im ganzen Flüssigkeitsgebiet Potentialströmung, nicht jedoch im luftgefüllten Kern.

Beim freien Wirbel bewegen sich alle Fluidpartikel auf <a href="Konzentrisch" class="mw-redirect" title="Konzentrisch">konzentrischen</a> Kreisbahnen mit <a href="Geschwindigkeit" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeits</a>beträgen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(r)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(r)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e02cb5d2a7712747c5074a346309ff86e1e33c55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.986ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(r)}" loading="lazy">, die (außer im Kerngebiet) dem <a href="Abstandsgesetz" title="Abstandsgesetz">Abstandsgesetz</a> mit Konstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> und Achsenabstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> entsprechen:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(r)={\frac {c}{r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24a066119eba5008bae14321ee39f4e77319c118.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.969ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle v(r)={\frac {c}{r}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Es handelt sich um eine <a href="Reziproke_Proportionalit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Reziproke Proportionalität">reziproke Proportionalität</a>, d. h. je weiter entfernt von der Achse die Partikel sind, desto langsamer bewegen sie sich, und die innersten Partikel bewegen sich am schnellsten. Dadurch ist eine völlig andere Geschwindigkeits- und <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)"> Druckverteilung</a> gegeben als beim quasi-starren Wirbel, der kein Potential besitzt und dessen Geschwindigkeit <a href="Proportional" class="mw-redirect" title="Proportional">proportional</a> zum Achsenabstand ist: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=\omega \cdot r.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=\omega \cdot r.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e309f8193a95f5665add788b892ab05f7444ec8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.046ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v=\omega \cdot r.}" loading="lazy">

In realen Fluiden bilden sich freie Wirbel nur näherungsweise als Potentialströmungen aus, da in ihrer Mitte Zähigkeitskräfte zu einer quasi-starren Rotation führen und das Geschwindigkeitsfeld hier Vortizität besitzt.

Nach Bestehorn ist der Potentialwirbel eigentlich ein Punktwirbel<a href="#cite_note-11">[11]</a>: Das komplexe Potential des Wirbels lautet mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z-z_{0}=re^{\mathrm {i} \,\varphi }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z-z_{0}=re^{\mathrm {i} \,\varphi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9b88d2ff669bd7a0608887c844396d4a23dd5c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.446ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle z-z_{0}=re^{\mathrm {i} \,\varphi }}" loading="lazy"> wie oben angedeutet:

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

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<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=-\mathrm {i} \,{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln(z-z_{0})=-\mathrm {i} \,{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln \left(re^{\mathrm {i} \,\varphi }\right)={\frac {\Gamma }{2\pi }}\varphi -\mathrm {i} \,{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln(r)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/201ed2b03a3b5e3d48084b497ccffbc4d32ac031.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:61.997ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle f(z)=-\mathrm {i} \,{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln(z-z_{0})=-\mathrm {i} \,{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln \left(re^{\mathrm {i} \,\varphi }\right)={\frac {\Gamma }{2\pi }}\varphi -\mathrm {i} \,{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln(r)}" loading="lazy"></dd></dl>

Auf der negativen reellen Achse bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =\pm n\pi \,,\;n=1,3,5,\ldots }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =\pm n\pi \,,\;n=1,3,5,\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/817c364675294b070f8774441ac759eb0ce1814b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.025ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi =\pm n\pi \,,\;n=1,3,5,\ldots }" loading="lazy"> ist der <a href="Nat%C3%BCrlicher_Logarithmus#Komplexer_Logarithmus" class="mw-redirect" title="Natürlicher Logarithmus"> komplexe Natürliche Logarithmus</a> nicht differenzierbar, weswegen das Potential gar keines ist. Wohl benutzbar ist aber die Stromfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi =-{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln(r)}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi =-{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln(r)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ba4212a973ba61c75db207909357d7b282c5daf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.935ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \psi =-{\frac {\Gamma }{2\pi }}\ln(r)}" loading="lazy">, die den Wirbel vollständig beschreibt. Die Wirbelstärke ist

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}\Delta \psi ={\frac {1}{2}}\Gamma \delta (z-z_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d653c9d29d61a10b8cb329485c261cdcd502d7eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.272ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}\Delta \psi ={\frac {1}{2}}\Gamma \delta (z-z_{0})}" loading="lazy"></dd></dl>

mit dem <a href="Dirac-Delta" class="mw-redirect" title="Dirac-Delta">Dirac-Delta</a> „δ“, weshalb es sich beim Potentialwirbel um einen unendlich starken Punktwirbel an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=z_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=z_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f8e63a3f2769739a78c3c24a091f778fdc72dfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.322ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z=z_{0}}" loading="lazy"> handelt, siehe <a href="Hamel-Oseenscher-Wirbel" class="mw-redirect" title="Hamel-Oseenscher-Wirbel">Hamel-Oseenscher-Wirbel</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

Das komplexe Geschwindigkeitspotential

<mtr>

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</mtd>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)=&z+{\frac {1}{z}}=x+\mathrm {i} \,y+{\frac {1}{x+\mathrm {i} \,y}}\\=&\underbrace {x+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}} _{=\phi }+\mathrm {i} \underbrace {\left(y-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)} _{=\psi }\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c4375d79eb5c3313724582f72909410a451397d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.338ex; width:39.006ex; height:15.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)=&z+{\frac {1}{z}}=x+\mathrm {i} \,y+{\frac {1}{x+\mathrm {i} \,y}}\\=&\underbrace {x+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}} _{=\phi }+\mathrm {i} \underbrace {\left(y-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)} _{=\psi }\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

beschreibt die Umströmung eines Zylinders, denn dessen Umfang bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec84b90236512e8d27ff1a8f7707b60b63327de1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.7ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}" loading="lazy"> ist eine Stromlinie mit ψ=0, siehe den oberen Bildteil. Die Stromlinien sind Höhenlinien der Stromfunktion ψ und haben die Gleichung

<mfrac>

<mrow>

<msup>

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</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

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</mrow>

<msqrt>

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<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}=\psi \quad \Rightarrow \quad x=\pm {\sqrt {{\frac {y}{y-\psi }}-y^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0c1631670b44b756fd932d3e7fffec0fae2fd10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:45.102ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle y-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}=\psi \quad \Rightarrow \quad x=\pm {\sqrt {{\frac {y}{y-\psi }}-y^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und sind im Bild im Abstand von Δψ=0,3 weiß gezeichnet. Die Stromlinie mit ψ=0 ist rot gezeichnet. Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Ableitung des Geschwindigkeitspotentials:

<mtr>

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</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}-\mathrm {i} \,v_{y}=&{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}=1-{\frac {1}{z^{2}}}\\\Rightarrow \quad v^{2}=&1+{\frac {2(y^{2}-x^{2})+1}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be02028096018eac988cf3e2db9c81a768b8ddef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:30.809ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}-\mathrm {i} \,v_{y}=&{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}=1-{\frac {1}{z^{2}}}\\\Rightarrow \quad v^{2}=&1+{\frac {2(y^{2}-x^{2})+1}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

In Abwesenheit eines Schwerefeldes liefert die Bernoulli-Gleichung den Druck:

<mfrac>

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</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

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<mrow>

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<mrow>

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\rho }{2}}v^{2}+p=E\quad \Rightarrow \quad p=E-{\frac {\rho }{2}}\left(1+{\frac {2(y^{2}-x^{2})+1}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/079688a4757414ce41f5e65c6f7d49547cfb6e1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:55.606ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\rho }{2}}v^{2}+p=E\quad \Rightarrow \quad p=E-{\frac {\rho }{2}}\left(1+{\frac {2(y^{2}-x^{2})+1}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit der konformen Abbildung

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

<msub>

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</msub>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w(z)=z+z_{0}+{\frac {R^{2}}{z+z_{0}}}\quad {\text{mit}}\quad R=\Re (z_{0})+{\sqrt {1-\Im (z_{0})^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6ad831310bba85a24452372991512f7ecec3fbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.782ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle w(z)=z+z_{0}+{\frac {R^{2}}{z+z_{0}}}\quad {\text{mit}}\quad R=\Re (z_{0})+{\sqrt {1-\Im (z_{0})^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wird der Zylinder auf eine Kontur transformiert, die einem Flügelprofil ähnelt<a href="#cite_note-12">[12]</a>, siehe den unteren Bildteil, wo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{0}=0{,}15\,e^{\mathrm {i} {\frac {5}{6}}\pi }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}=0{,}15\,e^{\mathrm {i} {\frac {5}{6}}\pi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1744de0ac698be19e7479d01e0a9365b64e478fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.974ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle z_{0}=0{,}15\,e^{\mathrm {i} {\frac {5}{6}}\pi }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R=0{,}8672}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=0{,}8672}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85cc9b1485687b54f029823a28371276d357816b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.322ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R=0{,}8672}" loading="lazy"> ist. Die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Re }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Re }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cc5a2cb7aa22f6d765976edb1daebefaf408142.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Re }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Im }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Im }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3e0312a4871a615cbdae168be102907f0a51e95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.288ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Im }" loading="lazy"> extrahieren den Real- bzw. Imaginärteil ihres komplexen Arguments. Der Betrag von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e72d1d86e86355892b39b8eb32b964834e113bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.135ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{0}}" loading="lazy"> kontrolliert die Bauchigkeit, wohingegen die Phase die Wölbung des Profils beeinflusst.

Die Strömung wird wie die Kontur transformiert, so dass sich die Stromlinien in der w-Ebene mit

<msub>

</mrow>

</msub>

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<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w(z)=z+z_{0}+{\frac {R^{2}}{z+z_{0}}}\quad {\text{und}}\quad z=\pm {\sqrt {{\frac {y}{y-\psi }}-y^{2}}}+\mathrm {i} \,y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d4a10aa3765dbe50354a29b95c144945bf02fca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:56.736ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle w(z)=z+z_{0}+{\frac {R^{2}}{z+z_{0}}}\quad {\text{und}}\quad z=\pm {\sqrt {{\frac {y}{y-\psi }}-y^{2}}}+\mathrm {i} \,y}" loading="lazy"></dd></dl>

ergeben. Sie sind im unteren Bildteil weiß gezeichnet. Die Stromlinien dieses Profils wurden oben, im Abschnitt <a href="#Analogon_der_Wärmeleitung">#Analogon der Wärmeleitung</a>, mit den Ergebnissen aus einer Wärmeleitungsanalyse verglichen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li>K. Lüders, R. O. Pohl, G. Beuermann, K. Samwer: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://av.tib.eu/media/10872">Stromlinien-Modellversuche.</a> <a href="IWF_Wissen_und_Medien" title="IWF Wissen und Medien">IWF Wissen und Medien</a>, 2004, abgerufen am 3. Januar 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APotentialstr%C3%B6mung&rft.title=Stromlinien-Modellversuche&rft.description=Stromlinien-Modellversuche&rft.identifier=https%3A%2F%2Fav.tib.eu%2Fmedia%2F10872&rft.creator=K.+L%C3%BCders%2C+R.+O.+Pohl%2C+G.+Beuermann%2C+K.+Samwer&rft.publisher=%5B%5BIWF+Wissen+und+Medien%5D%5D&rft.date=2004"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Oertel (2012), S. 75.

</li>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {f}}={\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {f}}\cdot {\vec {f}})-{\vec {f}}\times \operatorname {rot} ({\vec {f}})}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80f062ff093e89f8204a36a660041ef8c9dcd62a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:41.977ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {f}}={\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {f}}\cdot {\vec {f}})-{\vec {f}}\times \operatorname {rot} ({\vec {f}})}" loading="lazy">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Spurk (2010), S. 118.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Greve (2003), S. 147.

</li>

<li id="cite_note-Anderson-5">↑ <a href="#cite_ref-Anderson_5-0">a</a> <a href="#cite_ref-Anderson_5-1">b</a> <a href="#cite_ref-Anderson_5-2">c</a> <a href="John_D._Anderson_(Ingenieur)" title="John D. Anderson (Ingenieur)">John D. Anderson</a>: <cite style="font-style:italic">Modern compressible flow. With historical perspective</cite>. McGraw-Hill, New York NY 2002, ISBN 0-07-242443-5, S. 358–359.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potentialstr%C3%B6mung&rft.au=John+D.+Anderson&rft.btitle=Modern+compressible+flow.+With+historical+perspective&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=0072424435&rft.pages=358-359&rft.place=New+York+NY&rft.pub=McGraw-Hill" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <a href="Horace_Lamb" title="Horace Lamb">Horace Lamb</a>: Hydrodynamics. 6th edition. Cambridge University Press, Cambridge 1993, ISBN 0-521-05515-6, S. 492–495.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Oertel (2012), S. 75 f.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Spurk (2010), S. 353.

</li>

<li id="cite_note-malcherek-9">↑ <a href="#cite_ref-malcherek_9-0">a</a> <a href="#cite_ref-malcherek_9-1">b</a> A. Malcherek: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dokumente.unibw.de/pub/bscw.cgi/1424365">Hydromechanik für Bauingenieure.</a> (pdf) Universität der Bundeswehr München, S. 48ff, abgerufen am 9. Oktober 2016 (deutsch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APotentialstr%C3%B6mung&rft.title=Hydromechanik+f%C3%BCr+Bauingenieure&rft.description=Hydromechanik+f%C3%BCr+Bauingenieure&rft.identifier=https%3A%2F%2Fdokumente.unibw.de%2Fpub%2Fbscw.cgi%2F1424365&rft.creator=A.+Malcherek&rft.publisher=Universit%C3%A4t+der+Bundeswehr+M%C3%BCnchen&rft.language=deutsch">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Bestehorn (2006), S. 95.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Bestehorn (2006), S. 87.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Bestehorn (2006), S. 91 ff.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>J. H. Spurk: <cite style="font-style:italic">Strömungslehre</cite>. Einführung in die Theorie der Strömungen. 8. überarbeitete Auflage. Springer Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2010, ISBN 978-3-642-13142-4, S. 343 ff., <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-13143-1">10.1007/978-3-642-13143-1</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=VTimBwAAQBAJ&pg=PA272#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche [abgerufen am 2. Januar 2021]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potentialstr%C3%B6mung&rft.au=J.+H.+Spurk&rft.btitle=Str%C3%B6mungslehre&rft.date=2010&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-13143-1&rft.edition=8.+%C3%BCberarbeitete+Auflage&rft.genre=book&rft.isbn=9783642131424&rft.pages=343+ff.&rft.place=Heidelberg%2C+Dordrecht%2C+London%2C+New+York&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </li>

<li>Michael Bestehorn: <cite style="font-style:italic">Hydrodynamik und Strukturbildung</cite>. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-33796-2.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potentialstr%C3%B6mung&rft.au=Michael+Bestehorn&rft.btitle=Hydrodynamik+und+Strukturbildung&rft.date=2006&rft.genre=book&rft.isbn=3540337962&rft.place=Berlin+u.+a.&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>Ralf Greve: <cite style="font-style:italic">Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker</cite>. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00760-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potentialstr%C3%B6mung&rft.au=Ralf+Greve&rft.btitle=Kontinuumsmechanik.+Ein+Grundkurs+f%C3%BCr+Ingenieure+und+Physiker&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=3540007601&rft.place=Berlin+u.+a.&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>Hans J. Lugt: <cite style="font-style:italic">Wirbelströmung in Natur und Technik</cite>. G. Braun, Karlsruhe 1979, ISBN 3-7650-2028-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potentialstr%C3%B6mung&rft.au=Hans+J.+Lugt&rft.btitle=Wirbelstr%C3%B6mung+in+Natur+und+Technik&rft.date=1979&rft.genre=book&rft.isbn=3765020281&rft.place=Karlsruhe&rft.pub=G.+Braun" style="display:none"> </li>

<li><a href="Herbert_Oertel_(Physiker)" title="Herbert Oertel (Physiker)">Herbert Oertel</a> (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene.</cite> 11., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-48209-5.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potentialstr%C3%B6mung&rft.btitle=Prandtl-F%C3%BChrer+durch+die+Str%C3%B6mungslehre.+Grundlagen+und+Ph%C3%A4nomene.&rft.date=2002&rft.edition=11.%2C+%C3%BCberarbeitete+und+erweiterte+Auflage.&rft.genre=book&rft.isbn=3528482095&rft.place=Braunschweig+u.+a.&rft.pub=Vieweg" style="display:none"> </li>

<li>Heinz Schade, Ewald Kunz: <cite style="font-style:italic">Strömungslehre</cite>. 2., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-11-011873-4.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potentialstr%C3%B6mung&rft.au=Heinz+Schade%2C+Ewald+Kunz&rft.btitle=Str%C3%B6mungslehre&rft.date=1989&rft.edition=2.%2C+durchgesehene+und+verbesserte+Auflage&rft.genre=book&rft.isbn=3110118734&rft.place=Berlin+u.+a.&rft.pub=de+Gruyter" style="display:none"> </li>

<li>Jürgen Zierep: <cite style="font-style:italic">Grundzüge der Strömungslehre</cite>. 4., überarbeitete Auflage. G. Braun, Karlsruhe 1990, ISBN 3-7650-2039-7.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potentialstr%C3%B6mung&rft.au=J%C3%BCrgen+Zierep&rft.btitle=Grundz%C3%BCge+der+Str%C3%B6mungslehre&rft.date=1990&rft.edition=4.%2C+%C3%BCberarbeitete+Auflage&rft.genre=book&rft.isbn=3765020397&rft.place=Karlsruhe&rft.pub=G.+Braun" style="display:none"> </li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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